La fundamentación logicista de la matemática

Abstract

El problema de la fundamentación lógica y gnoseológica de la matemática aún no ha sido completamente resuelto. Este problema preocupa intensamente a matemáticos y a filósofos, ya que una incertidumbre en los fundamentos de “la más segura de todas las ciencias” es, en efecto, extremadamente perturbadora. Se han llevado a cabo diversos intentos por resolver dicho problema; empero, puede decirse que ninguno de ellos ha efectivamente superado todas las dificultades. La solución ha sido buscada esencialmente desde tres direcciones. Sus ideas fundamentales se presentan en las tres conferencias de hoy. Estas direcciones son: el logicismo [Logizismus], cuyo principal representante es Russell, el intuicionismo [lntuitionismus], defendido por Brouwer y el formalismo [Formalismus] de Hilbert. Dado que aquí les deseo mostrar, a grandes rasgos, las líneas fundamentales de la construcción logicista de la matemática, estimo que es menester no sólo mostrar las partes del sistema en las que ésta ha tenido un buen resultado, o al menos un éxito razonable, sino también señalar las dificultades peculiares con las que dicha construcción logicista se enfrenta. Uno de los problemas más importantes de los fundamentos de la matemática es el de la relación entre la matemática y la lógica. El “logicismo” es la concepción según la cual la matemática es reducible a la lógica, de aquí que [la matemática] no sea sino una parte de la lógica. El primero en defender esta concepción fue Frege (1884).1 Los matemáticos ingleses A. N. Whitehead y B. Russell, en su gran obra Principia Mathematica (1910-1913),2 proporcionaron una construcción sistemática de la lógica y de la matemática desarrollada a partir de ella. Dividiremos la tesis del logicismo en dos sub-tesis, que serán discutidas sucesivamente: 1. los conceptos matemáticos [mathematischen Begriffe] son derivables de los conceptos lógicos [logischen Begriffen], a través de definiciones explícitas [explizite Definitionen]; 2. las proposiciones matemáticas [mathematischen Sätze] son derivables de los principios lógicos [logischen Grundsätzen], mediante deducciones puramente lógicas.