A propósito del formalismo de Johann von Neumann

Abstract

En 1930, Johann von Neumann, junto con Rudolf Carnap y Arend Heyting, participó de un evento realizado en Königsberg llamado “Segundo Seminario sobre Epistemología de las Ciencias Exactas”. La idea por detrás de la reunión de esos tres investigadores era presentar un cuadro suficientemente fiel de los tres programas de fundamentación de la matemática existentes al momento: el formalismo, el logicismo y el intuicionismo. El principal objetivo de este artículo es proponer un análisis del texto “La fundamentación formalista de la matemática” presentado por von Neumann en el mencionado seminario. Tratamos de mostrar como desde la perspectiva de von Neumann el problema de la consistencia de las teorías matemáticas es resultado de la transformación de una cuestión genuinamente filosófica en una genuina cuestión lógico-matemática y como una prueba de consistencia podía ser vista como la solución del problema fundacional. En la parte final del texto, presentamos algunas consideraciones acerca de las pruebas de consistencia de Gerhard Gentzen y su importancia para la teoría contemporánea de la demostración.

In 1930, Johann von Neumann, together with Rudolf Carnap and Arend Heyting, participated in a conference held in Königsberg, called “Second Seminar on the Epistemology of Exact Sciences”. The idea behind the reunion of these three researchers was to compose a fairly faithful picture of the three main foundational programs of mathematics at the time: formalism, logicism, and intuitionism. The main objective of this paper is to propose an analysis of the text “The Formalist Foundation of Mathematics” presented by von Neumann in this conferenc e. We show how, from von Neumann's perspective, the problem of the consistency of mathematical theories results from the transformation of a genuinely philosophical question into a genuinely logical-mathematical question and how a proof of consistency could be seen as the solution to the foundational problem. In the final part of the text, we present some considerations about Gerhard Gentzen’s consistency proofs and their importance to contemporary proof theory.